Total Tayangan Laman

Selasa, 10 Mei 2011

matriks


MATRIKS

Beberapa pengertian dan istilah yang terdapat pada matrik
  •  adalah kelompok bilangan yang tersusun dalam jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang yang terdiri atas baris – baris dan kolom- kolom.
  • Baris dari suatu matrik adalah bagian susunan bilangan yang ditulis mendatar atau horizontal dalam matruk.
  • Kolom dari suatu matrik adalah bagian yang ditulis tegak atau vertical dalam matrik.
  • Eleman atau unsure suatu matrik adalah bilangan – bilangan (real atau kompleks) yang menyusun matrik itu.
  • Ordo atau ukuran dari suatu matrik ditentukan oleh banyak baris dan kolom dari matrik itu.
  • Banyak elemen atau banyak unsure dari suatu matrik ditentukan oleh hasil banyak baris dengan banyak kolom dari matrik itu.
Misalkan matrik A terdiri atas m baris dan n kolom, maka matrik A dikatakan berordo    m x n dan ditulis sebagai Amxn . banyak elemen matrik A adalah (m x n) buah elemen matrik – matrik itu dilambangkan sebagai aij (i dari 1 sampai dengan m dan j dari 1 sampai dengan n)

NOTASIMATRIKS

Notasi yang digunakan

                             Atau                       Atau



Matriks kita beri nama dengan huruf besar seperti A, B, C, dll. Matriks yang mempunyai I baris dan j kolom ditulis A=(aij ), artinya suatu matriks A yang elemen-elemennya aij  dimana indeks I menyatakan baris ke I dan indeks j menyatakan kolom ke j dari elemen tersebut.

Secara umum :
Matriks A=(aij ), i=1, 2, 3,…..m dan j=1, 2, 3,……., n yang berarti bahwa banyaknya baris m dan banyaknya kolom n.

Contoh :
-1         -3

2         12
2   3   12   -1
-3

-4

                             A=                           B=                     C=


Ukuran matriks
2 x 2
2 x 1
1 x 4
Jumlah baris
2
2
1
Jumlah kolom
2
1
4

JENIS – JENIS MATRIKS
                                                                                 
1. MATRIKS BARIS
Suatu matriks berordo m x n  dengan nilai m= 1, sehingga diperoleh matriks yang berordo 1 x n  terdiriatas satu baris dan dan memuat n  elemen. Matriks yang berciri diatas disebut matrik baris. Berikut ini ada beberapa contoh dari matriks baris.
  • A= ( 4       1), merupakan matriks baris yang terdiri dari dua elemen.
  • B= ( 5   -2   3 ), merupakan matriks baris yang terdiri dari tiga elemen.
2. MATRIKS KOLOM ATAU MATRIKS LAJUR
Suatu matriks berordo m x n  dengan nilai n= 1, maka diperoleh matriks yang berordo    m x 1. matriks m x 1 terdiri atas satu kolom dan memuat m elemen. Matrik yang berciri seperti itu dinamakan matriks kolom atau matriks lajur. Ada beberapa contoh dari matriks kolom sebagai berikut:

A =  , merupakan matriks kolom yang terdiri atas dua elemen.
B = , merupakan matriks kolom yang terdi atas tiga elemen.
3. MATRIKS NOL
Matriks nol adalah matriks yang semua elamannya bernilai 0 (ditulis matriks nol) sifat –sifatnya :
a. A + 0 = A ( bila ukuran A = ukuran 0)
b. A0 = 0; 0A = 0 (kalau syarat – syarat perkalian terpenuhi)
4. MATRIKS PERSEGI  ATAU MATRIKS BUJUR SANGKAR
Suatu matriks berordo m x n dengan nilai m = n, sehingga di peroleh matriks berordo n x n dan untuk selanjutnya disingkat dengan matriks berordo n saja.
Pada matriks berordo n, banyak baris = banyak kolom. Matris yang berciri demikian disebut matriks persegi berordo n. Berikut ini diberikan beberapa contoh dari matriks persegi.

A = , merupakan matriks persegi berordo dua.

B =
Dalam suatu matriks persegi, elemen – elemen yang terletak pada garis hubungan elemen a11 dengan elemen anm  dinamakan sebagai diagonal utama ( disingkat dengan DU), sedangkan elemen – elemen yang terletak pada garis hubung elemen a1n  dinamakan sebagai diagonal samping (disingkat dengan DS), diagonal utama (DU) dan diagonal samping (DS) dari suatu matrik persegi dapat ditampilkan dalam bentuk bagan.

                                                                          Diagonal samping DU
            diagonal utama DU


Berikut ini contoh bagaimana menentukan letak – letak elemen pada diagonal utama dan letak – letak pada diagonal samping dari suatu matrik persegi.

                                         Diagonal samping
Matriks S =
                                          Diagonal utama

Elemen – elemen yang terletak pada diagonal utama adalah 1, 2, dan 8, sedangkan elemen yang terletak pada diagonal samping adalah 1, 2, dan 5.
5. MATRIKS SEGITIGA
Suatu matriks bujur sangkar berordo n dengan elemen – elemen matriks yang berada dibawah diagonal utama dan di atas diagonal utama semuanya bernilai nol. Matriks yang berciri demikian dinamakan matrik segitiga. Berikut ini ada contoh matriks segitiga :
  • Matrik segitiga bawah (lower triangular) adalah matriks bujur sangkar yang semua di atas diagonal utama ber nilai nol. Dengan kata lain (aij) adalah matriks segitiga bawah bila aij= 0, untuk i < j.
Contoh : , matrik segitiga bawah


  • Matriks segitiga atas (upper triangular) adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen dibawah diagonal utama bernilai nol, dengan kata lain (aij) adalah matriks segitiga atas bila aij= 0, i > j
Contoh :  , matriks segitiga atas





6. MATRIKS DIAGONAL
Suatu matriks bujur sangkar berordo n dengan elemen matriks yang berada dibawah dan di atas diagonal utama semuanya bernilai nol. Ini berarti bahwa semuanya bernilai nol, terkecuali elemen – elemen yang terletak pada diagonal utama. Matriks yang berciri seperti itu dinamakan matriks diagonal.
 Sebagaimana ditunjukkan dalam beberapa contoh diawah ini :

A = , matriks diagonal berordo dua

B = , matriks diagonal berordo tiga
7. MATRIKS TRIDIAGONAL
Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen-elemennya = 0 kecuali elemen-elemen pada diagonal utama serta samping kanan dan kirinya.
1         2        0       0
1         2        3       0
 0        2        3       4
0         0        4       5  1
Contoh :

                      A=


8. MATRIKS IDENTITAS (SATUAN)
Matriks identitas adalah matriks diagonal yang elemen – elemen diagonal utamanya semua bernilai 1, dengan kata lain (uij) adalah matriks identitas bila uij = 1, bila i = j, dan = 0 bila i # j, matriks identitas biasanya ditulis 1 atau 1n dimana n menunjukkan ukuran matriks bujur sangkar tersebut.
Contoh :

 I2 = , matriks identitas berordo dua

I3 = , matriks identitas berordo tiga

9. MATRIKS DATAR DAN MATRIK TEGAK
Suatu matriks yang berordo m x n dengan m <  n, ini berarti banyak kolom lebih banyak dibandingkan dengan baris. Oleh karena itu kolomnya lebih banyak dari pada baris, maka susunan elemen – elemennya akan memanjang atau mendatar. Matriks yang berciri demikian dinamakan matrik datar.
Sebaliknya, jika m > n maka banyak baris lebih banyak dibandingkan banyak kolom,maka susunan elemen – elemennya membentuk persegi panjang tegak. Matriks yang berciri demikian itu dinamakan matriks tegak.
Berikut ini adalah contoh matriks datar dan matriks tegak:

, merupakan matriks tegak




, merupakan matriks datar

10. MATRIKS SCALAR
Adalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonalnya = k. Matriks I adalah bentuk khusus dari metrics scalar, dengan K = I
contoh matriks scalar:

, matriks scalar, atau dapat ditulis pula sebagai 4I =

                                                      4

11. MATRIKS SIMETRIS
Adalah matriks yang transposnya sama dengan dirinya sendiri,dengan kata lain bila A=A T atau aij = aji untuk semua unsure i dan j. Jelas bahwa matriks simetris adalah bujur sangkar.
Contoh :

A =  dan  AT =
                                              Maka A adalah simetris

12. MATRIKS ANTISIMETRIS
Adalah matriks yang transposnya adalah negatifnya dengan kata lain bila AT= -A atau                  aji =-aij untuk semua unsure i dan j. Mudah dipahami bahwa semua eleman diagonal utama matriks antisimetris = 0.
Contoh:

A =  maka

AT =  = -A

13. MATRIKS HERMITIAN
Adalah matriks A disebut matriks hermitian bila transpose hermitiannya = dirinya sendiri, dengan kata lain bila AH = A. Mudah dimengerti bahwa matriks yang simetrisnya adalah matriks hermitian. Disebut matriks antihermitan jika AH = -A.
contoh :
A =  dan

AH =  , jadi A hermitian

14. MATRIKS INVERS (KEBALIKAN)
Kalau matriks A dan B matriks – matriks bujur sangkar berorbo n dan berlaku
AB = BA = I maka dikatakan B invers dari A dan ditulis B = A-I, sebaliknya A adalah invers dari B maka ditulis A = B-I.
Catatan :
            Tidak semua matriks bujur sangkar mempunyai invers. Sebuah matriks yang inversnya adalah dirinya sendiri dengan kata lain AA = I, disebut matriks yang involutury.
Contoh:
Matriks A =

Mempunyai invers A-1 =

Karena AA-1 = A-1A =

A-1 = B maka AB = BA

15. MATRIKS KOMUTATIF
Kalau A dan B matriks – matriks bujur sangkar n berlaku AB = BA, maka A dan B dikatakan berkumutatif satu sama lain, jelas bahwa setiap matriks bujur sangkar berkomutatitif dengan I (yang ukurannya sama) dan dengan inversnya (bila ada).
Kalau AB = -BA, dikatakan anti antikomutatif.
Contoh :
A =  dan B =  berkomutatif karna

AB =  =

Sedangkan BA =  =
Catatan :
Matriks bujur sangkar N disebut matriks normal bila berlaku NNH = NHN, yaitu bila N berkumutatif dengan transpose hermitiannya. Jelas bahwa matrik hermitian merupakan matriks normal juga.
16. MATRIKS IDEMPOTEN, PERIODIC, NILPOTENT
Bila berlaku AA = A2 = A, dikatakan matriks bujur sangkar A adalah matriks yang idempotent.
Secara umum bila bilangan P bilangan asli (bulat  positif) terkecil sehingga  AAA…A=Ap =A, maka dikatakan A matriks priodik dengan P – I. Kalau Ar=0, dikatakan nilpotent dengan indeks r (dimana r adalah bilangan bulat positif yang memenuhi bilangan diatas).
Contoh:

A =   adalah nilpotent dengan indeks = 3

Karena A 3 =    

                   =  

                   =  = 0
17. MATRIKS EKUIVALEN
Dua matriks A dan B disebut ekuivalen (A ~ B ) apabila salah satunya dapat diperoleh dari yang lain dari transformasi – transformasi elementer terhadap baris dan atau kolom. Kalau transforasi –transformasi elementernya hanya pada baris saja dikatakan ekivalen baris,kalau pada kolom saja dikatakan ekivalen kolom.
Contoh :
2         3         1
4         1         0
4         1         0
2         3         1

 
          A=                       dan   B=

A dan B adalah ekuivalen baris karena jika kita mempertukarkan baris ke-1 dengan baris ke-2 pada matriks A atau H12(A), maka akan didapat matriks B.
  4         0         2        1
  5         1         3        1
 3         0         2        1
 4         1         3        1
                                   K12(1)                                               K42(-1) 
A=                              
                                          K1+(1*K2)                                    K4+(-1*K2) 

 5         1         3        1
 3         0         2        1
  3         0         2        1
  5         1         3        1
                                             H12


Catatan :
Relasi ekuivalen memenuhi tiga syarat berikut:
·         Sifat refleksif yaitu berlaku A ~ A (ekivalen dengan diri sendiri)
·         Sifat simetri yaitu berlaku A ~ B maka B ~ A.
·         Sifat transitif yaitu berlaku A ~ B dan B ~ A maka A ~ C.

18. MATRIKS SINGULAR, NONSINGULAR DAN RANK
Suatu matriks bujur sangkar A disebut singular apabila det(A) = 0. Kalau det(A) # 0 maka disebut matriks yang nonsingular. Matriks nonsingular mempunyai invers, sedangkan matriks singular tidak mempunyai invers.
Dengan transformasi elementer baris / kolom, kita dapat mengenolkan sebanyak mungkin baris / kolom matriks. Banyak maksimum baris / kolom disebut rank matriks, ditulis r(A).

Catatan :
Matriks bujur sangkar A berordo n adalah singular bila r(A) < n. Hal ini berhubungan dengan S4 dan akibat S3dari determinan (dimana determinan yang mempunyai baris / kolom nol, harga det = 0).
Contoh :
A =   adalah matriks singular karena :

 H31(-1)   H32(-1)

Jadi r(A) = 2 < n, juga det = 0
Catatan :
Determinan dari matriks A dikalikan dengan determinan dari matriks B = determinan matriks AB atau : |A| . |B| = |AB|.  (bila ordo A dan B sama)
Kita pula dapat mencari rank suatu matriks dengan pertolongan determinan suatu matriks A # 0 mempunyai rank = r jika paling sedikit berukuran (r + 1) x (r + 1) –nya, jika ada, berharga = 0.
Contoh:
A =   mempunyai r =2 karena  # 0
Sementara det(A) = 0
                                       
19. MATRIKS JODOH Ā
Adalah jika A matriks dengan elemen-elemen bilangan kompleks maka matriks jodoh Ā dari A didapat dengan mengambil kompleks jodoh (CONJUGATE) dari semua elemen-elemnya.
2-3i         -2i
   5          3+i
2+3i          2i
   5           3-i
Contoh :
                      A=                      maka Ā=

20. MATRIKS ELEMENTER

Anxn disebut matriks elementer jika dengan sekali melakukan transformasi elementer terhadap suatu matriks identity I diperoleh Anxn.



Contoh : Diketahui matriks
1         0         0
0         1         0
0         0         1
0         1         0
1         0         0
0         0         1
 
         
I3 =                       H12(I) 


1         0         0
0         1         0
k        0         1
 
                                   H31(k)(I) 

                                  H3+(k* H2

1         0         0
0         1         0
0        -4         1
                            
                                   H32(-4)(I) 

                                 H3+(-4* H2















SOAL DAN PEMBAHASAN

1.      Jika A bernilpoten 2 tunjukkan bahwa A(I-A)n = A
Jawab : diket : A nilpotent berindeks 2
            Buktikan bahwa A(I – A)n = A
            A nilpotent berindeks 2 berarti A2 = 0
Sehingga : A3 = A2. A = 0 . A = 0
                  A4 = A3 . A = 0 . A = 0
                  An = An-1 .  A = 0 . A = 0
            ( I – A )n =  I n-I  . (-A)i
               
                ( I – A )n = ( I+ (-A))n =  In-I (-A)i
=  I0 (-A)0 + In-I  (-A)1 +    In-2 (-A)2 + …….+  I1(A)n-1            +  I0 (-A)n
= In. 1 – n In-1 A +  In-2 A2 +….. nI (-A)n-1 + (-A)n
= I –nIA +  In-2 . 0 + …..+ nI(0) + 0
= I – nA + 0 + ….+ 0 +0
= I – nA
                         A (I- A)n = A (I-nA)
                                         = AI – nAn
                                         = A – n.0
                                         = A – 0
                          A (I-A)n  = A    (terbukti)

2.      Diketahui matriks A =  , B = dan A=XA +YB maka, XY = ….
               Jawab:
A2 = XA+YB
A.A = XA +YB
             = X  + Y
               =  +
            =
             pers ………(1)  = pers ……(2)
(1)
                   =
                       
                        2X + 6Y =1 x 3    6X + 18Y = 3
                        3X + 12Y=0 x2    6X + 24Y = 0
-6Y = 3
Y =  
2X + 6Y = 1
2X +6( )  = 1
2X – 3 = 1
2X = 4
X =  =  2
X = 2
XY = 2 ( ) = 1

3.      Diketahui S = , M = , jika f(S+M)=S2+M2 dan f(S-M) = S2-M2
Maka f(S+M,S-M) = (S+M)2 - (S-M)2

S+M =  +
    =       
      (S+M)2 =    =
        S-M =  -
                 =
        (S-M)2 =  

                     =

         (S+M)2 – (S-M)2 =  -

                                      =
4.      Jika A =  adalah matriks singular maka nilai X = ….
Jawab :                         
Teori A = maka

Det(A) = |A| = ad – bc  jika det(A) = 0 maka A disebut matriks singular
A =    det(A) = ad – bc = 3.8 – (-X).6
                                                        = 24 +  6X = 0
                                                                    6X = -24 
                                                                       X = -4
5.      Diketahui A =  , B =  ,jika M = A +B maka invers matriks M-1=…
Jawab :
            M = A+B
                 =  +
                  =
            M-1 =  
              
                    =   
                                               =  
                          M-1  =
6.      Jika A =  dan  I adalah matriks yang berordo dua maka A2 – 2A + I =….
Jawab ;
A2 – 2A + I =    - 2  +
                                    =
7.      Diketahui A =  dan I = tentukan nilai X supaya matriks A – XI merupakan matriks singular

A – XI =  - X
             =   -
              =
Syarat matriks singular adalah determinan = 0 maka
               = (1 – X)(3 – X) – 8 = 0
                              = X2 – 4X +3 – 8 =0
                              = X2 – 4X – 5 = 0
                              = (X + 1)(X – 5) = 0
                              X = -1 atau X = 5

8.      Tentukan matriks p jika A = , B = , pada AP=B     
Jawab :
AP=B , P = A-1 B
                = -1
                 =    
                                        =  
                              =
9.      Diketahui A =  dan B = , jika A-1 menyatakan A transpus dari A maka nilai X jika A-1=B
Jawab:
A-1=B
 = ,
 X+Y = -1
 X-Y = 3 +
        X = 2

10.  Jika A =  dan At = A-1 maka ad – bc = ….
Jawab:
At = A-1
 =  
            Ad – bc =

             (ad – bc) {(ad – bc)2 – 1} = 0
               Ad – bc =0 tidak memenuhi
   Ad – bc = +1





























SOAL PILIHAN GANDA

1.      Diketahui matriks A =    maka nilai dari A-AT = ……


a.       A =
b.      A =
c.       A =
d.      A =
e.       A =


2.      Diketahui matriks A=  dan matrik B = ; jika P = A + AT + B, maka nilai matrik P adalah …..


a.      
b.     
c.      
d.     
e.      


3.      Diketahui A =  , B =  , jika AX = BT. Tentukan nilai dari X = …..


a.       X =
b.      X =
c.       X =
d.      X =
e.       X =


4.      Dibawah ini yang merupakan matriks segitiga adalah …..


a.      
b.     
c.      
d.     
e.      




5.      Dibawah ini yang menunjukkan matriks diagonal adalah ….


a.      
b.     
c.      
d.     
e.      



6.      Jika I adalah matriks identitas, sedangkan A =  A – KI merupakan matriks singular, carilah k !


a.       -1 dan 6
b.      6 dan -1
c.       1 dan -6
d.      -1 dan -6
e.       1 dan 6


7.      Diketahui A =  adalah matriks singular. Nilai x adalah ….


a.       2
b.      1
c.       0
d.      -2
e.       -1


8.      Invers matriks A = adalah…


a.      
b.     
c.      
d.     
e.      




9.      Diketahui  A = , B = C = , D = . Pasangan matriks yang saling invers adalah……


a.       A dan C
b.      A dan D
c.       C dan B
d.      C dan D
e.       A dan D


10.  Invers dari adalah


a.      
b.     
c.      
d.     
e.      


11.  Diketahui matriks A dan B masing –masing berordo 2x2. Pernyataan yang benar untuk (A + B)2 adalah….


a.       A 2 + B2 + 2AB
b.      A 2 + B2 + 2BA
c.       A 2 + B2
d.      A 2 + B2 - 2AB
e.       A 2 + B2 + AB + AB


12.  Diketahui   


1.     
2.     
3.     
4.     


Matrik – matrik berikut yang termasuk matrik baris dan kolom adalah …


a.      
b.     
c.      
d.     
e.      


13.   Diketahui A=  matriks di samping termasuk matriks berordo berapa…..


a.       A2x3
b.      A3x4
c.       A4x4
d.      A3x3
e.       A4x3


14.  Diketahui A =  , matriks di samping termasuk matriks …..


a.       Matriks segitiga
b.      Matrik diagonal
c.       Matrik persegi
d.      Matriks identitas
e.       Matriks simetris


15.  Manakah yang termasuk matriks simetris……?


a.      
b.     
c.      
d.     
e.      


16.  Dibawah ini yang merupakan matriks persegi adalah …


a.      
b.     
c.      
d.     
e.      


17.  Diketahui A =   dan B =   Maka nilai dari A – 2B adalah…


a.         
b.        
c.         
d.        
e.      


18.  Diketahui A=  dan B=  Maka -2AB = adalah…..


a.         
b.     
c.      
d.     
e.      


19.  Diketahui  =  tentukan nilai dari a+b+c….


a.       16
b.      -16
c.       -14
d.      12
e.       14



20.  Diketahui matriks A= , jika AB=  maka nilai dari matriks B adalah…


a.      
b.     
c.      
d.     
e.      


21.  Jika P  =  matriks P adalah…..


a.      
b.     
c.      
d.     
e.        


  1. Ukuran dari matriks A = adalah……..
A. 2 x 2
D. 4
B. 2 x 3
E. 6
C. 3 x 2

  1.  Diketahui matriks B = , matriks disamping berordo berapa…..
A. 2 x 2
D. 4
B. 2 x 3
E. 6
C. 3 x 2


  1. Banyaknya baris dan kolom pada matriks A = adalah…….
A. 2 dan 3
D. 4 dan 3
B. 2 dan 4
E. 3 dan 2
C. 4 dan 2


  1. Diberikan matriks B = . Elemen pada baris kedua kolom keempat adalah…….
A. -6
D. 1
B. -3
E. 2
C. -2


  1. Diberikan matriks A = . Matriks transpose (At) dari matriks tersebut adalah…….
A.
D.
B.
E.
C.


  1. Trace dari matriks A = adalah…….
A. 2
D. 6
B. 4
E. 10
C. 5


  1. Matriks identitas merupakan matriks…..
A. diagonal
D. segitiga bawah
B. segitiga atas dan segitiga bawah
E. diagonal, segitiga atas dan segitiga bawah
C. segitiga atas


  1. Diberikan A =  dan B = . Maka hubungan antara matriks A dan B adalah……
A. simetris
D. transpose
B. berlawanan
E. tidak simetris
C. simetri dan berlawanan


  1. Diketahui matriks A =  dan l = . Matirks (A – kl) adalah matriks singular untuk nilai k = ……..

A. -2 dan 5
D. 3 atau 4
B. -5 dan 2
E. 1 atau 2
C. 2 dan 5




  1. Matriks X berordo 2 x 2 yang memenuhi persamaan = adalah……
A.

D.
B.

E.
C.


  1. Matriks transpose(At)  dari matriks A = ……………..
A.

D.
B.

E.
C.

  1. Jika diketahui At adalah transpose matriks A dan At = , maka A =…

A.

D.
B.

E.
C.


  1. Jika matriks A =  dan l = , pernyataan dibawah ini yang benar adalah…..
(1) Al =

(3) ll = l
(2) lA =

(4) AA=A

A. (1), (2) dan (3)
D. (1)
B. (1) dan (2)
E. semua benar
C. (2) dan (4)


  1. Jika A = , B = , dan Bt adalah transpose matriks B, maka A + 2Bt adalah…….


a.      
b.     
c.      
d.     
e.      



36.  Nilai determinan dari matriks di bawah ini adalah

A =



a.       38
b.      32
c.       35
d.      36
e.       37



37.  Manakah diantara matriks berikut yang merupakan matriks segitiga atas?



a.       P=

b.      Q =

c.       R =

d.      S =

e.       T =




38.  Adjoin dari matriks R =  adalah.....




a.       Adj  R = 

b.      Adj  R = 


c.       Adj  R = 

d.      Adj  R = 


e.       Adj  R = 




39.  Manakah diantara matriks berikut yang merupakan matriks diagonal?



a.                   A =

b.                   A =


c.                    A =

d.                  A =


e.                   A =



40.  Berapakah ukuran matriks P =   & matriks R =


a.       1 x 1 dan 1 x 3
b.      1 x 3 dan 3 x 1
c.       3 x 1 dan 1 x 3
d.      1 x 1 dan 3 x 1
e.       3 x 1 dan 1 x 1





41.  Misalkan D = ,manakah  yang merupakan minor dari  ?



a.      

b.     


c.      

d.     


e.      




42.  Jika B = ,maka B-1 adalah........

a.     


b.       

c.        

d.      -  

e.        


f.        






43.  Jika P = ,maka  adalah.....



a.       -4
b.      -6
c.       -8
d.      -3
e.       -7



44.  Jika Q = ,maka  adalah......



a.       -100
b.      -101
c.       -102
d.      -103
e.       -104



45.  Jika Z = ,maka  adalah......


a.       40
b.      41
c.       42
d.      43
e.       44




46.   Transpose dari matriks A=  adalah…..


a.      
b.     
c.      
d.     
e.      


47.   Diketahui matriks A =  dan B =  jika AB = BA. Pernyataan yang benar adalah…..


a.       ( a + d) b =  (p + s) q
b.      ( a - d) b =  (p - s) q
c.       ( a - d) q =  (p - s) b
d.      ( a + d) q =  (p + s) b
e.       ( a - d) q =  (s - p) b


48.  Jika  2  + 3  + k  = , maka nilai dari k adalah…..


a.       4
b.      3
c.       2
d.      -2
e.       -4


49.  Diketahui matriks A =  dan B=  . jika 2A = B Maka nilai dari        x – 2y adalah……


a.       6
b.      7
c.       8
d.      9
e.       10


50.  Jika matriks P =  dan Q= . Jika P + P = Qt,  maka nilai x + y …..


a.       5
b.      6
c.       7
d.      8
e.       9












KUNCI JAWABAN PILIHAN GANDA


1.      C
2.      D
3.      A
4.      D
5.      B
6.      A
7.      D
8.      D
9.      C
10.  A
11.  E
12.  A
13.  B
14.  D
15.  C
16.  E
17.  A
18.  B
19.  C
20.  C
21.  A
22.  B
23.  C
24.  B
25.  D
26.  B
27.  D
28.  A
29.  B
30.  A
31.  A
32.  A
33.  C
34.  B
35.  A
36.  A
37.  D
38.  A
39.  E
40.  B
41.  D
42.  D
43.  A
44.  C
45.  C
46.  C
47.  C
48.  E
49.  E
50.  C